Een Priemgetal is een natuurlijk getal > 1 wat alleen deelbaar is door 1 en zichzelf.
bijvoorbeeld: 2 3 5 7 11 etc.
(het getal 9 is geen priemgetal want dit is deelbaar door 1, 3 & 9.)
De natuurlijke getallen welke geen priemgetal zijn, zijn de zogenaamde samengestelde getallen. Het bijzondere hiervan is dat deze samengestelde getallen altijd het unieke product zijn van 2 of meer priemgetallen. Dit is de hoofdstelling van de rekenkunde.
Neem het getal 28 dit is deelbaar door 2 => 14 daarna weer deelbaar door 2 => 7 en als laatste deelbaar door 7. Dus 28 is samengesteld uit de vermenigvuldiging van de priemgetallen 2 * 2 * 7: het product van 3 priemgetallen.
Is het getal X niet het product van 2 of meer priemgetallen dan is getal X een priemgetal.
Bijzonder is ook dat elk even natuurlijk getal > 2; de som is van twee priemgetallen.
“Het vermoeden van Goldbach”.
Bijzonder is ook dat elk oneven natuurlijk getal > 5; de som is van drie priemgetallen.
“Het zwakke vermoeden van Goldbach”.
Voorbeeld om te rekenen met priemgetallen. Stel ik wil weten wat het kleinste getal is wat deelbaar is door 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, en 10. Waarbij een natuurlijk positief geheel getal overblijft als uitkomst.
Ik denk dan zelf meteen aan het getal 60, onze tijdtelling van de klok, met 60 kom je al een heel eind.
60 : 1 = 60
60 : 2 = 30
60 : 3 = 20
60 : 4 = 15
60 : 5 = 12
60 : 6 = 10
60 : 10 = 6
alleen 7, 8, en 9 lukt niet.
Je zou dan 60 kunnen vermenigvuldigen met 7 * 8 * 9 = 30240 dit is ook een getal wat deelbaar is door 1 tm 10 maar niet het kleinste.
Je zou ook 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 3628800 ook deelbaar door 1 tm 10 maar zeker niet het kleinste.
De oplossing is: maak gebruik van de priemgetallen en priemfactoren:
Neem de rij getallen waardoor gedeeld moet worden:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Begin vooraan met 1 en stel de vraag in welk priemgetal is 1 op te splitsen? => 1
In welk priemgetal is 2 op te splitsen? => 2
De priemfactor van het getal 3? => 3
In welke priemgetallen is 4 op te splitsen? => 2 en 2 maar omdat we in de opbouwende reeks al 1 x de 2 hebben als priemfactor hoeft hij nog maar 1 keer voor te komen om het getal 4 te kunnen delen => 2
De priemfactor(en) van het getal 5 => 5
De priemfactoren van 6 => zijn al aanwezig in de reeks nl 2 en 3 . => dus met andere woorden elk getal wat deelbaar is door 1 tm 5 is automatisch deelbaar door 6.
Dus het kleinste getal wat deelbaar is door 1 tm 5 = 60 en dit is automatisch ook deelbaar door 6.
De priemfactor van 7 => 7
De priemfactoren van 8 => 2 * 2 * 2 daar we al 2 keer het getal 2 in de reeks hebben ( de priemfactoren van de getallen 2 en 4 ) hebben we nog maar 1 * 2 nodig om 8 te kunnen delen => 2
De priemfactoren van 9 => 3 * 3 , waarbij we 1 * 3 al hebben in onze rij dus nog maar 1 * 3 “nodig hebben” => 3
De priemfactoren van 10 => 2 * 5 => deze zijn beide al aanwezig in de rij. Dus het kleinste getal deelbaar door 1 tm 5 ( hierin vallen de priemfactoren 2 en 5 ) is automatisch ook deelbaar door 10, dit is weer het getal 60.
Neem nu alle overgebleven priemfactoren en vermenigvuldig die met elkaar om het kleinste getal te krijgen wat deelbaar is door 1 tm 10.
1 * 2 * 3 * 2 * 5 * 7 * 2 * 3 = 2520
2520 is het kleinste natuurlijke getal wat deelbaar is door 1 tm 10.
Priemtweelingen zijn twee priemgetallen die een factor 2 met elkaar verschillen. ( 3 – 5, 5 – 7, 11 – 13,……… 311 -313 enz. enz.)
Elk priemgetal > 3 is een veelvoud van 6 plus of min 1 !!
47 = (8 x 6 – 1) 79 = ( 13 x 6 + 1) ofwel b.v. 12 x 6 = 72 +1 =73 72 -1 = 71
Een bijzonder priemgetal is:
357686312646216567629137
Dit priemgetal is van links naar rechts af te breken, en het getal wat overblijft is nog steeds een priemgetal.
Ontbinden in Priemfactoren en andere berekeningen / eigenschappen van getallen op